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Álgebra Lineal.

1. Antecedentes.

1.1 Relación, Función y Ecuación.

Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto( figura 1).

Figura 1. Relación matemática.

    Una función es una relación entre dos conjuntos que cumple que a cada elemento del conjunto de partida se le asigna un único elemento del conjunto de llegada.

Una forma útil de representar las funciones son los conocidos diagramas de Venn. Observamos que a cada elemento del conjunto de salida A, se le asigna un elemento del conjunto B de llegada (figura 2):

Figura 2. Función.

    Para ver la diferencia entre lo que es una función y lo que no, podemos observar la figura 3.

Figura 3. Diferencia entre relación y función.

La primera relación sí es una función ya que asigna un único elemento del conjunto de llegada a cada elemento del conjunto de partida, la relación no es una función ya que existen elementos del conjunto de salida a los que se asigna más de un elemento del conjunto de entrada. Los valores del conjunto de salida a los cuales podemos aplicar la función constituyen el dominio de la función; y los elementos del conjunto de entrada que podemos obtener aplicando la función a un elemento del dominio constituyen la imagen de la función o codominio.

    Lo cierto es que es posible encontrar algunos tipos de funciones matemáticas en que puede haber cierta divergencia en lo que a correspondencias entre x e y se refiere. Concretamente podemos encontrar los siguientes tipos de funciones (figura 4).

Figura 4. Tipos de funciones.

   Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o desconocidos (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes, también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores; los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Las incógnitas, generalmente se representan por letras que constituyen los valores que se pretende encontrar; se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

   Ecuación de una función. La ecuación de una función es la expresión algebraica que resume cómo se obtienen los  valores del conjunto final a partir de los valores del conjunto inicial (figura5).

Figura 5. Ecuación de una función.

    Las ecuaciones se clasifican según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están (figura 6):


Figura 6. Clasificación de las  ecuaciones.

1.2 Sistema de ecuaciones.

  Un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático cuyo objetivo es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.

  Una solución de dicho sistema es, por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. Es decir, el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

  Como dato curioso los babilonios ya resolvían sistemas de ecuaciones lineales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con problemas de medida.

    Ecuación Lineal con dos incógnitas. Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal, y una con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo    

     Ax + By =C

   Donde x, y son las incógnitas, y A, B, C son coeficientes conocidos.

   La solución de este tipo de ecuaciones es un par de valores (x, y) que hacen valida la igualdad; esta puede tener soluciones infinitas representándose como una línea recta.

    Sistemas de Ecuaciones Lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas esta formado por dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.

      Dos sistemas con la misma solución de dicen equivalentes.

1.3 Sistema de inecuaciones.

Inecuación: Es la relación de orden que existe entre dos cantidades y se representa con los símbolos menor que (<) y mayor que (>).

Son una desigualdad entre letras (incógnitas) y números relacionados por operaciones aritméticas. Su conjunto solución es el conjunto de números reales que la satisfacen.

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo.

Las resolveremos transformándolas en otras más sencillas que tengan las mismas soluciones atendiendo a las siguientes pautas:

1.-Si a los dos miembros de una inecuación les sumo o les resto un número o una misma expresión algebraica, obtendremos una inecuación equivalente.

2.- Si a los dos miembros de una inecuación se multiplican o se dividen por un mismo número, Obtenemos una equivalente si el número es mayor que cero.

3. Si multiplicamos la inecuación por un número negativo, obtenemos una equivalente si cambiamos el sentido. Es decir, si queremos multiplicar por (-) para que nuestra incógnita sea positiva, cambiamos el ángulo de la desigualdad (signo mayor o menor).

1. Antecedentes

      1.1 Relación, Función y Ecuación.

      1.2 Sistema de Ecuaciones.

      1.3 Sistema de Inecuaciones.

     

2. Operaciones Matriciales.

     2.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas.

      2.2 Productos vectorial y matricial.

      2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

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