Cálculo Integral.

Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología.Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral:

1.   Hallar el área de regiones planas.
2.  Obtener los volúmenes de sólidos de revolución.
3.  Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas.
4.  Determinar la longitud de arco de una curva.
5.  Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).
6.  Conocer el valor promedio de una función.
7.  Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).
8.  Encontrar la presión ejercida por un fluido.
9.  Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro.
10.  Obtener velocidades y aceleraciones de móviles.
11.   Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artículo a un precio dado).
12.  Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad
de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo.

A continuación se presentan los siguientes ejercicios para mayor comprensión.

Ejercicio 1: Una partícula se mueve a lo largo del eje “x” por la acción de una fuerza que mide newtons en un punto a “x” pies del origen. Encuentra el trabajo realizado al moverla desde el origen hasta una distancia de 6 m.

SOLUCIÓN

Ejercicio 2: Un resorte tiene una longitud natural de 0.656 ft. Si se requiere una fuerza de 25 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 28 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 0.656 ft a 0.754 ft?

SOLUCIÓN 

Ejercicio 3: Para elevar 805 libras de carbón hacia el tiro de una mina de 550 ft de profundidad se usa un cable que pesa 3 libras por cada pie que mide. Encuentra el trabajo realizado.

SOLUCIÓN

Ejercicio 4: Si se lanza un objeto hacia arriba desde una altura inicial de 1500 ft con una velocidad inicial de 65 ft/s, encuéntrese la velocidad y la altura después de 8 segundos.

SOLUCIÓN

Ejercicio 5: Una mina de carbón produce a razón de   toneladas de carbón  por hora. Encuentra una fórmula que describa la producción total de la mina después de t horas de operación.

SOLUCIÓN

Ejercicio 6: Se mide la aceleración de una pieza sometida a una operación de maquinado y se obtiene que mm/s². Cuando t=0, v=0. Para el intervalo de tiempo t=0 a t= 5s, determine: (a) la velocidad máxima; (b) el desplazamiento.

SOLUCIÓN

Ejercicio 7: Datos experimentales indican que en una región de la corriente de aire que sale por una rejilla de ventilación, la velocidad del aire emitido está definido por , donde se expresan en m/s  y metros, respectivamente, y  es la velocidad de descarga inicial del aire. Para , determine (a) la aceleración del aire cuando x=2m, (b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x= 1 a x= 3m.

SOLUCIÓN

Ejercicio 8: Una empresa manufacturera estima que cuando » x » unidades de un bien en particular son producidas, el costo total será de dólares y, más aún, que todas las unidades serán vendidas a un precio de  dólares por unidad.

• Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal.
• Use el costo marginal para estimar el costo de producir la décima unidad.
• ¿Cuál es el costo real de producir la décima unidad?
• Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de la venta de la décima unidad.
• ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la décima unidad?

SOLUCIÓN

Ejercicio 9: Un cultivo tiene inicialmente una cantidad No de bacterias. Para t=1 hora, el numero de baterías medido es de . Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.

SOLUCIÓN