calculus

Cálculo Integral.

La integración es un concepto fundamental del  cálculo y del análisi matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la derivada.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal,  es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

FONFO

Notación Sumatoria o Sigma.

La sumatoria o sumatorio, conocida también como notación sigma,  es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

En esta sección  se presentan y ofrecen ejercicios resueltos  para tu crecimiento y desarrollo académico.

Ejercicio 1:   Representa la serie dada en notación Sigma. S= 1 + 4 + 7+ 10 + 13 + …+ 118, para i=0 
SOLUCIÓN

Ejercicio 2:   Representa la serie dada en notación Sigma. S= 1 + 4 + 7  + 10 + 13 + …+ 118, para i=1
SOLUCIÓN 

Ejercicio 3:   Representa la serie dada en notación Sigma. S= 1+4+8+ 27 + …+ 1000
SOLUCIÓN 

Ejercicio 4:   Representa la serie dada en notación Sigma. 
SOLUCIÓN

Ejercicio 5:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S= 𝟏+𝟎.𝟏+𝟎.𝟎𝟏+….,  
SOLUCIÓN

Ejercicio 6:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S=𝟑+𝟓+𝟕+𝟗+𝟏𝟏+𝟏𝟑+ 15.

SOLUCIÓN

Ejercicio 7:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S=𝟐+𝟒+𝟖+𝟏𝟔+𝟑𝟐+𝟔𝟒 
SOLUCIÓN

Ejercicio 8:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S =6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 
SOLUCIÓN

Ejercicio 9:   Representa la serie dada en notación Sigma. 
SOLUCIÓN

Ejercicio 10:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S =𝟏+√𝟐+√𝟑+𝟐+√𝟓+ …+𝟑 
SOLUCIÓN

Ejercicio 11:   Representa la serie dada en notación Sigma.   
SOLUCIÓN

Ejercicio 12:   Representa la serie dada en notación Sigma.  S = 𝒇´(𝟏)(𝒙−𝟏)−(𝒇´´(𝟏))/𝟑 (𝒙−𝟏)*(x-1)+… 
SOLUCIÓN

Desarrolla la Suma finita.

Ejercicio 1:   Desarrolla la Suma finita de 

SOLUCIÓN

Ejercicio 2:   Desarrolla la Suma finita de

SOLUCIÓN

Espera por más  novedades…

 

Integración por partes.

El método de Integración por partes se utiliza cuando el integrando está formado por un producto o una división, que podemos tratar como un producto, el cual  consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Se elige  udv de acuerdo a la regla del ILATE:

Ejercicio 1:  Resuelve la siguiente integral por el método de Integración por partes. 
SOLUCIÓN

2.-          SOLUCIÓN

3.-       SOLUCIÓN

4.-    SOLUCIÓN

5.-   SOLUCIÓN

6.- SOLUCIÓN

7.   SOLUCIÓN

8.-   SOLUCIÓN

9.-   SOLUCIÓN

10.-    SOLUCIÓN

11.-    SOLUCIÓN

12.-    SOLUCIÓN

13.-   SOLUCIÓN

14.-

Integración por Fracciones Parciales.

El método de Integración por fracciones parciales permite integrar algunas de las funciones racionales, que difícilmente se pueden resolver mediante otros métodos de integración; este es un método algebraico que permite descomponer una fracción racional en la suma de varias fracciones.

Dada una función racional de la forma: tal que el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador y Q(x) un polinomio no factorizable en ℝ, es posible expresar la fracción anterior como una suma o resta de fracciones más simples.

Primer caso: Si el grado del numerador es un grado menor que el denominador, conviene expresar el denominador como un producto de factores, por lo que se debe factorarlo.

Forma del factor Forma de la Fracción parcial.

Segundo caso: Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción debe reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador para el denominador. 

Al aplicar el método de fracciones parciales suele seguirse el siguiente procedimiento.

1. Analizar la Fracción Parcial: Se verifica que el polinomio del numerador sea de menor grado que el denominador. En caso de no serlo se transforma la fracción a una forma mixta.
2. Factorar el denominador si no lo está: Siempre es conveniente tener el denominador en su forma factorada.
3. Determinar las constantes: Dependiendo del sistema de ecuaciones que se obtenga se procede a resolverlo para determinar el valor de las constantes del sistema.
4. Reemplazar las constantes: Finalmente se sustituyen los valores de las constantes determinadas para la expresión.

Para mayor comprensión se presentan los siguientes ejercicios:

Resuelve aplicando el método de descomposición en fracciones parciales,  las siguientes integrales.

 Ejercicio 1                  SOLUCIÓN

Ejercicio 2.       SOLUCIÓN 

Ejercicio 3.       SOLUCIÓN

Ejercicio 4.                 SOLUCIÓN

Ejercicio 5.                SOLUCIÓN

Ejercicio 6.               SOLUCIÓN

Ejercicio 7.     SOLUCIÓN

Ejercicio 8.    SOLUCIÓN

Ejercicio 9.      SOLUCIÓN

Ejercicio 10.       SOLUCIÓN

Ejercicio 11.     SOLUCIÓN

Ejercicio 12.      SOLUCIÓN

Ejercicio 13.   SOLUCIÓN

Ejercicio 14. SOLUCIÓN

Ejercicio 15. SOLUCIÓN

Ejercicio 16.    SOLUCIÓN

Ejercicio 17.   SOLUCIÓN

Ejercicio 18.  SOLUCIÓN

Ejercicio 19.   SOLUCIÓN

Ejercicio 20.  SOLUCIÓN

Ejercicio 21.

Ejercicio 22.

Aplicaciones de la Integral.

Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología.Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral:

1.   Hallar el área de regiones planas.
2.  Obtener los volúmenes de sólidos de revolución.
3.  Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas.
4.  Determinar la longitud de arco de una curva.
5.  Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).
6.  Conocer el valor promedio de una función.
7.  Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).
8.  Encontrar la presión ejercida por un fluido.
9.  Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro.
10.  Obtener velocidades y aceleraciones de móviles.
11.   Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artículo a un precio dado).
12.  Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad
de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo.

A continuación se presentan los siguientes ejercicios para mayor comprensión.

Ejercicio 1: Una partícula se mueve a lo largo del eje “x” por la acción de una fuerza que mide newtons en un punto a “x” pies del origen. Encuentra el trabajo realizado al moverla desde el origen hasta una distancia de 6 m.

SOLUCIÓN

Ejercicio 2: Un resorte tiene una longitud natural de 0.656 ft. Si se requiere una fuerza de 25 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 28 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 0.656 ft a 0.754 ft?

SOLUCIÓN 

Ejercicio 3: Para elevar 805 libras de carbón hacia el tiro de una mina de 550 ft de profundidad se usa un cable que pesa 3 libras por cada pie que mide. Encuentra el trabajo realizado.

SOLUCIÓN

Ejercicio 4: Si se lanza un objeto hacia arriba desde una altura inicial de 1500 ft con una velocidad inicial de 65 ft/s, encuéntrese la velocidad y la altura después de 8 segundos.

SOLUCIÓN

Ejercicio 5: Una mina de carbón produce a razón de   toneladas de carbón  por hora. Encuentra una fórmula que describa la producción total de la mina después de t horas de operación.

SOLUCIÓN

Ejercicio 6: Se mide la aceleración de una pieza sometida a una operación de maquinado y se obtiene que mm/s2. Cuando t=0, v=0. Para el intervalo de tiempo t=0 a t= 5s, determine: (a) la velocidad máxima; (b) el desplazamiento.

SOLUCIÓN

Ejercicio 7: Datos experimentales indican que en una región de la corriente de aire que sale por una rejilla de ventilación, la velocidad del aire emitido está definido por , donde se expresan en m/s  y metros, respectivamente, y  es la velocidad de descarga inicial del aire. Para , determine (a) la aceleración del aire cuando x=2m, (b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x= 1 a x= 3m.

SOLUCIÓN

Ejercicio 8: Una empresa manufacturera estima que cuando » x » unidades de un bien en particular son producidas, el costo total será de dólares y, más aún, que todas las unidades serán vendidas a un precio de  dólares por unidad.

  • Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal.
  • Use el costo marginal para estimar el costo de producir la décima unidad.
  • ¿Cuál es el costo real de producir la décima unidad?
  • Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de la venta de la décima unidad.
  • ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la décima unidad?

SOLUCIÓN

Ejercicio 9: Un cultivo tiene inicialmente una cantidad No de bacterias. Para t=1 hora, el numero de baterías medido es de . Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.

SOLUCIÓN

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